CHAPTER WRAP-UP · GRADE 2

Ⅴ

대단원 정리하기

Chapter Ⅴ Recap — 삼각형과 사각형의 성질

"Geometry is the art of reasoning well on poorly drawn figures." — Henri Poincaré

개념 지도 · 핵심 공식 8개 · 주요 오개념 4개 · 학습 체크리스트 · 교과서 참고 — 한눈에 정리.

CORE FORMULAS

핵심 공식 8

Eight equations and theorems that solve every problem in this chapter.

Ⅴ-1 · 이등변

이등변삼각형의 두 밑각

$\overline{AB} = \overline{AC}$ ⟺ $\angle B = \angle C$
꼭지각의 이등분선 = 밑변의 수직이등분선

두 변이 같으면 두 각이 같고, 두 각이 같으면 두 변이 같다 (역도 성립).

Ⅴ-1 · 직각 합동

직각삼각형의 합동 조건

RHA: 빗변 + 한 예각
RHS: 빗변 + 한 변

직각이 있다는 강력한 정보 덕분에 일반 삼각형보다 적은 정보로 합동 보장.

Ⅴ-1 · 외심

외심의 성질

$\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = R$
(세 변의 수직이등분선의 교점)

세 꼭짓점에서 같은 거리. 직각삼각형 → 외심은 빗변의 중점, $R$ = 빗변/2.

Ⅴ-1 · 내심

내심의 두 공식

$\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2}$
삼각형 넓이 $= r \cdot s$ ($s$ = 반둘레)

세 각의 이등분선 교점. 세 변에서 같은 거리 = 내접원 반지름 $r$.

Ⅴ-2 · 평행사변형

평행사변형의 4 성질

① 두 쌍 대변 길이 같음
② 두 쌍 대각 크기 같음
③ 이웃 각의 합 = 180°
④ 두 대각선이 서로를 이등분

"두 쌍의 대변이 평행"이라는 정의 하나에서 따라오는 4가지 결과.

Ⅴ-2 · 되는 조건

평행사변형이 되는 5 조건

①정의 / ②두 쌍 대변 길이 / ③두 쌍 대각 / ④대각선 이등분 / ⑤한 쌍 평행+길이

위 4 성질의 역 + 한 가지 새로운 조건(⑤). 어느 하나라도 만족하면 평행사변형.

Ⅴ-2 · 가족 관계

특별 사각형의 대각선

직사각형: 대각선 길이 같음
마름모: 대각선 수직
정사각형: 둘 다

사각형 가족: 사각형 ⊃ 사다리꼴 ⊃ 평행사변형 ⊃ {직사각형, 마름모} ⊃ 정사각형.

Ⅴ-2 · 넓이

평행선과 넓이

같은 밑변 + 평행선 위 꼭짓점 → 같은 넓이
밑변비 = 넓이비 (공통 꼭짓점)

평행선 사이의 거리가 일정 → 등적변형이 가능. 모양은 달라도 넓이는 같다.

COMMON PITFALLS

자주 하는 오개념

Four traps that catch most students.

M-01

직각삼각형 합동에서 SSA 오용

"두 변과 끼인각이 아닌 각이 같으면 합동" — 일반 삼각형에 적용

SSA는 일반적으로 모호. 직각이 있어야 빗변+한 변(RHS)로 합동.

핵심: 일반 삼각형에서는 SSA가 모호하지만, 직각이 추가되면 피타고라스로 나머지 변이 결정되어 RHS가 성립한다.

M-02

외심과 내심의 위치 혼동

"내심은 모양에 따라 외부에 있을 수도 있다"

내심은 항상 내부. 외심만 모양에 따라 안/위/밖.

핵심: 외심은 예각→내부, 직각→빗변 중점, 둔각→외부. 내심은 항상 삼각형 내부 (내접원이 삼각형 안에 들어가야 하므로).

M-03

한 쌍 평행만으로 평행사변형 판단

"$\overline{AB} \parallel \overline{DC}$이면 평행사변형이다"

한 쌍 평행만이면 사다리꼴. 평행 + 길이 같음까지 있어야 평행사변형 (조건 ⑤).

핵심: 조건 ⑤는 "한 쌍의 대변이 평행하고 길이도 같다"는 두 가지가 모두 필요. 평행 정보만으로는 부족.

M-04

마름모 변 계산에서 대각선 전체 사용

대각선 $6, 8$ → $\overline{AB} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$

반대각선 $3, 4$ → $\overline{AB} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

핵심: 마름모의 두 대각선은 서로 이등분하므로, 변을 구할 때는 반대각선(대각선의 절반)을 사용해야 한다. 직각삼각형의 두 다리가 반대각선들.

LEARNING FLOW

학습 흐름

From simple symmetry to the area-preserving transformation.

STEP 01

이등변삼각형의 성질

두 변이 같으면 두 밑각도 같다 + 역도 성립. 꼭지각 이등분선 = 수직이등분선. 합동의 첫 응용.

1.1 →

STEP 02

직각삼각형의 합동

RHA와 RHS — 직각이 있다는 강력한 정보 덕분에 더 적은 조건으로 합동 보장.

1.2 →

STEP 03

삼각형의 외심

세 변의 수직이등분선의 교점. 세 꼭짓점에서 같은 거리 = 외접원의 반지름.

1.3 →

STEP 04

삼각형의 내심

세 각의 이등분선의 교점. 세 변에서 같은 거리 = 내접원의 반지름 $r$. 넓이 $= rs$.

1.4 →

STEP 05

평행사변형의 성질

두 쌍의 대변이 평행 → 4가지 성질. 합동을 도구로 모두 증명 가능.

2.1 →

STEP 06

평행사변형이 되는 조건

2.1의 네 성질의 역 + 새 조건 ⑤ — 모두 5가지 조건. 어느 하나라도 → 평행사변형.

2.2 →

STEP 07

여러 가지 사각형

직사각형(대각선 길이) · 마름모(대각선 수직) · 정사각형(둘 다) · 사다리꼴 · 등변사다리꼴 — 사각형 가족 관계도.

2.3 →

STEP 08

평행선과 넓이

평행선 사이의 거리는 일정 → 같은 밑변·높이의 두 삼각형은 같은 넓이. 등적변형의 원리.

2.4 →

KEY TERMS

용어 사전

10 key terms — definitions you should know cold.

이등변삼각형

Isosceles Triangle

두 변의 길이가 같은 삼각형. 두 밑각의 크기도 같다.

빗변

Hypotenuse

직각삼각형에서 직각의 대변 — 가장 긴 변.

외심

Circumcenter

세 변의 수직이등분선의 교점. 외접원의 중심.

내심

Incenter

세 각의 이등분선의 교점. 내접원의 중심.

평행사변형

Parallelogram

두 쌍의 대변이 평행한 사각형. 네 가지 성질을 가짐.

직사각형

Rectangle

네 각이 모두 직각인 평행사변형. 대각선의 길이가 같다.

마름모

Rhombus

네 변의 길이가 모두 같은 평행사변형. 대각선이 서로 수직 이등분.

정사각형

Square

직사각형이면서 마름모. 모든 성질을 다 가짐.

사다리꼴

Trapezoid

한 쌍의 대변만 평행한 사각형. 평행사변형 아님.

등적변형

Equi-area Transformation

도형의 모양을 바꾸되 넓이는 보존하는 변환. 평행선 위 꼭짓점 이동으로 가능.

SELF-CHECK

학습 체크리스트

10 milestones to verify your mastery. Click each item when you can confidently say "yes."

이등변삼각형의 성질을 증명한다

합동(SAS)을 이용해 두 밑각이 같음을 보일 수 있다.

RHA, RHS 합동조건을 적용한다

직각삼각형에서 빗변과 추가 정보만으로 합동을 판단한다.

외심의 성질을 안다

세 꼭짓점에서 거리가 같음을 알고 외접원 반지름을 계산한다.

$\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2}$ 공식을 활용한다

내심 각 공식을 문제에 적용한다.

평행사변형의 4가지 성질을 설명한다

대변·대각·이웃 각·대각선의 성질을 모두 안다.

평행사변형이 되는 5 조건을 안다

어떤 조건이 주어졌을 때 평행사변형 여부를 판단한다.

직사각형·마름모·정사각형의 특별 성질

대각선 길이 / 수직 / 둘 다를 구분한다.

사각형 가족 관계도를 그린다

사각형 ⊃ 사다리꼴 ⊃ 평행사변형 ⊃ {직사각형·마름모} ⊃ 정사각형.

같은 밑변·높이 → 같은 넓이

평행선 사이의 거리가 일정함을 활용한다.

등적변형으로 도형을 변환한다

같은 넓이의 다른 모양으로 자유롭게 바꿀 수 있다.

0 / 10 마스터

CURRICULUM REFERENCE

2022 개정 교육과정 참고

Curriculum standards and connections covered in this chapter.

9수04-01

삼각형의 성질

이등변삼각형의 성질과 삼각형의 외심·내심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.

9수04-02

사각형의 성질

사각형의 성질을 이해하고 설명할 수 있다. 이 단원의 두 가지 핵심 성취기준.

선행 · 7수04-04

합동 (1학년)

1학년의 삼각형 합동 조건(SSS·SAS·ASA)이 이 단원의 모든 증명의 토대.

연계 · 9수04-03

도형의 닮음 (Ⅵ)

다음 단원의 도형의 닮음은 합동을 확장한 개념. 비율과 크기 변화를 다룬다.

연계 · 9수04-06

피타고라스 정리

직각삼각형에서 $a^2 + b^2 = c^2$. 이 단원의 RHS와 마름모 변 계산에서 이미 활용.

역량

기하학적 논증

관찰에서 출발해 합동을 도구로 증명하는 수학적 논증의 핵심 역량.